La rototraslazione mappa-rilievo nei riconfinamenti

– Gianni Rossi –

In Topografia la rototraslazione è un calcolo che permette di trasformare le coordinate di una serie di punti, date in un sistema di riferimento, nei corrispondenti valori dati in un altro sistema di riferimento. Mi rendo conto che, per chi è a digiuno di questa materia, questa definizione generica fa capire poco (per non dire niente), per cui mi auguro di riuscirci nel seguito di questo articolo.

Nelle attività topografiche, i casi in cui si deve passare da un sistema di riferimento all’altro sono molteplici e pertanto l’applicazione della rototraslazione è piuttosto frequente. In questo articolo affronto il caso particolare applicato alla ricostruzione di un confine da mappa. Ho scritto “particolare” perché si tratta di una fattispecie che ha alcune caratteristiche diverse da quelle di una rototraslazione “classica”. Vediamole.

In una riconfinazione da mappa la situazione di partenza è la seguente:

• sul posto il confine è incerto e/o conteso e l’unico elemento dal quale può essere determinato è la mappa d’impianto;^[1]
• il confine, dunque, è presente solo sulla mappa e da questa noi dobbiamo trasferirlo sul terreno.

Come si fa?

Supponiamo per assurdo che la mappa, anziché essere in scala 1 : 2000, fosse un enorme lenzuolo in scala 1 : 1, cioè in dimensioni reali. A quel punto basterebbe:

• identificare sulla mappa alcuni punti tuttora esistenti sul posto;
• stendere il lenzuolo sul terreno facendolo coincidere su tali punti;
• recarsi sulla linea del confine del lenzuolo e forarlo con delle paline^[2] in modo da ricavare il punto sul terreno.

Bene, per quanto possa sembrare paradossale, questo è esattamente ciò che dobbiamo fare anche se la mappa di cui disponiamo è in scala 1 : 2000 e, anziché essere un lenzuolo, è un file raster (anzi, questo supporto, proprio perché digitale, ci consente di ottenere addirittura una miglior precisione).

Da quanto appena detto, appare evidente che la condizione di base per poter raggiungere il risultato è l’individuazione sulla mappa di una serie di punti che siano tuttora presenti e ben materializzati sul posto, come fabbricati o termini lapidei^[3]. Da questi “punti doppi” (in gergo tecnico vengono anche definiti “punti omologhi”) possiamo quindi applicare la rototraslazione che ci permette di sovrapporre mappa e rilievo (come nel caso del lenzuolo) e ricavare gli estremi per tracciare il confine sul posto.

Vediamo quindi in cosa consiste la rototraslazione.

Andiamo per gradi e analizziamo lo schema di Figura 1 qui sotto che ne riporta la geometria considerando la presenza di soli due punti strettamente necessari a risolverla. Di tali due punti, P e Q, conosciamo le coordinate sia nel sistema di riferimento del rilievo, con origine in O’ e assi X-Y, sia nel sistema di riferimento della mappa, con origine in O e assi E-N. L’origine O della mappa è ovviamente quella catastale (in genere un trigonometrico nel Comune al quale appartiene il foglio di mappa), mentre l’origine O’ del rilievo è locale, cioè la prima stazione celerimetrica (se rilievo solo TS) o la base GPS (se rilievo GNSS). Gli assi E-N della mappa sono anch’essi quelli catastali, con l’asse Nord coincidente con il meridiano terrestre passante per l’origine O^[4], mentre gli assi X-Y del rilievo sono dati:

• per rilievi celerimetrici, dall’orientamento della prima stazione TS che fissa l’asse Y;
• per rilievi GPS, dal Nord WGS84 del sistema satellitare GNSS che fissa sempre l’asse Y.

In quest’ultimo caso (rilievi GPS), non si pensi che l’asse Y, cioè il Nord WGS84, sia orientato sullo stesso Nord della mappa, cioè sul Nord catastale, perché i due sistemi di riferimento, catastale e WGS84, si basano su due ellissoidi diversi e, come tali, la direzione del Nord non coincide, sia pur di poco. Pertanto lo schema di Figura 1 rappresenta in ogni caso la situazione generica della rototraslazione nel senso che i due sistemi di riferimento sono:

• traslati nelle origini nelle due componenti E₀ e N₀, ovvero della coordinata Est e della coordinata Nord che ha l’origine del rilievo O’ nel sistema di riferimento della mappa;
• ruotati tra loro dell’angolo ε.

Figura 1 – Lo schema geometrico della rototraslazione.

Le formule trigonometriche riportate in Figura 1 esprimono la relazione tra le coordinate nei due sistemi di riferimento, definendo come calcolare le coordinate mappa e_p e n_p del punto P a partire dalle coordinate rilievo di entrambi i punti P(x_p y_p) e Q(x_q, y_q). Le stesse formule danno ovviamente anche le coordinate mappa e_q e n_q del punto Q. Scrivendo tali formule in forma di equazione, cioè con lo zero a destra dell’uguale, abbiamo queste 4 espressioni:

Qui però cominciano le complicazioni date dalle caratteristiche della rototraslazione mappa-rilievo di cui accennavo all’inizio. Infatti, nello schema teorico di Figura 1, P e Q sono esattamente gli stessi punti, dei quali abbiamo le coordinate in entrambi i sistemi di riferimento. Nel nostro caso, invece, i punti non sono affatto gli stessi perché la mappa non corrisponde fedelmente alla realtà, è una sua rappresentazione affetta inevitabilmente da difetti e imprecisioni. Questo significa che se calcoliamo la distanza P-Q dalle coordinate dei due punti prelevate dalla mappa^[5], e la confrontiamo con la distanza calcolata dalle coordinate rilievo, non otteniamo lo stesso valore.

Cosa significa questo?

Significa che mappa e rilievo non hanno la stessa scala, cioè la mappa è, sia pur leggermente, un po’ più grande o un po’ più piccola della realtà. In pratica tra i due sistemi di riferimento esiste un “fattore di scala”: se la mappa è leggermente espansa rispetto al rilievo, questo fattore è superiore all’unità, esempio 1,00043 (che, tradotto in misure più comprensibili, significa 43 cm al km). Viceversa se la mappa è leggermente contratta rispetto al rilievo sarà di poco inferiore all’unità, esempio 0,99964 (36 cm/km). Questo comporta che le equazioni di cui sopra devono tener conto di questo fattore f, nel senso che le coordinate x-y del rilievo vanno moltiplicate per tale valore e le espressioni diventano quindi:

Da qui possiamo già arrivare ad una prima deduzione: le 4 equazioni di cui sopra contengono altrettante incognite:

Se noi conoscessimo questi quattro valori, saremmo in grado di trasformare nelle coordinate mappa e-n le coordinate rilievo x-y di qualsiasi altro punto, ottenendo quindi la sovrapposizione mappa-rilievo di tutti i punti, risolvendo così il problema. E in effetti il sistema di equazioni di cui sopra permette di trovare le 4 incognite perché, se avete qualche ricordo della matematica studiata a scuola, vi tornerà alla mente che un sistema di equazioni è risolvibile proprio quando il numero delle equazioni è pari al numero di incognite (tralascio di ricordare come si fa 😉).

Ma qui subentra un’altra complicazione, data proprio dal fatto che la mappa è difettosa e non rappresenta fedelmente la realtà. Ad esempio, qualcuno dei punti di inquadramento individuati potrebbe essere stato inserito in mappa in maniera errata ed essere quindi in posizione significativamente distanziata rispetto alla sua posizione reale da noi rilevata sul posto. La stessa eventualità può verificarsi a parti invertite: ad esempio, se il fabbricato di un punto di inquadramento (spigolo) è stato ampliato successivamente all’impianto e noi, dal semplice riscontro sul posto non ce ne rendiamo conto, si avrà lo stesso problema: i due punti, mappa e reale, non corrispondono. Ovviamente in tali frangenti questi punti di inquadramento inattendibili vanno esclusi dal calcolo della rototraslazione perché altrimenti si avrebbero risultati altrettanto inattendibili (confine in posizione errata).

Per evitare questo problema, nelle riconfinazioni (così come del resto si fa sempre in topografia) è necessario utilizzare un congruo numero di punti di inquadramento, molto maggiore dei due strettamente necessari, in modo da poter selezionare soltanto quelli che risultano sufficientemente attendibili, cioè quelli la cui mutua posizione mappa-realtà coincide a meno di una certa tolleranza.

Ma come facciamo a operare questa selezione?

Riprendiamo le equazioni già viste e consideriamo il caso di avere un terzo punto di inquadramento R, anziché i soli due punti P e Q iniziali. In questo caso le equazioni diventano 6 perché alle 4 dei punti P e Q si aggiungono le 2 del punto R:

Cosa succede in questo caso?

Succede che il numero di equazioni è maggiore del numero delle incognite. Questa ridondanza, come detto, è proprio quella voluta, ma porta ad una complicazione del calcolo, data dal fatto che, risolvendo quattro delle sei equazioni, i valori trovati delle incognite non soddisfano le rimanenti due equazioni. Ad esempio, se risolviamo il sotto-sistema delle prime quattro equazioni (relative ai punti P e Q), i risultati che troviamo per le quattro incognite (E₀, N₀, f, ε) non soddisfano le ultime due (quelle del punto R), nel senso che su queste due equazioni a destra dell’uguale non avremo zero ma un valore residuo. Allo stesso modo, se risolviamo il sotto-sistema delle quattro equazioni relative ai punti Q e R, i risultati delle incognite non soddisfano le prime due del punto P. E infine se risolviamo il sotto-sistema delle quattro equazioni relative ai punti P e R, i risultati delle quattro incognite non soddisfano le due equazioni centrali del punto Q. Tutto questo per dire che, quando c’è sovrabbondanza di punti di inquadramento, il sistema diventa iperdeterminato, cioè, per dirla in parole semplici, le equazioni, anziché dare come risultato zero, danno invece come risultato uno scarto Δ, come qui evidenziato:

Questi scarti sono proprio quelli che ci danno l’attendibilità dei punti e ci permettono quindi di operare la cernita di cui parlavo sopra.

Ma come si risolve questo nuovo sistema con scarti?

Si risolve applicando il principio dei minimi quadrati, un algoritmo matematico che rende minimi gli scarti stessi (più precisamente: la somma dei quadrati degli scarti^[6]). La trattazione di questo calcolo esula dagli scopi di questo articolo, se qualcuno di voi volesse affrontarla, la trova nel mio libro Tecniche di riconfinazione (a pag. 447 e seguenti) e nel corso Come risolvere le riconfinazioni con Excel – II^ edizione presente sul sito www.corsigeometri.it (menù CORSI ONLINE, sezione Topografia, Catasto, Riconfinazioni).

Mi preme però fare chiarezza sull’interpretazione “allegra” che ne danno alcuni tecnici i quali credono di poter risolvere le riconfinazioni con metodi che io definisco fai-da-te. Questi colleghi pensano che la rototraslazione ai minimi quadrati si possa tranquillamente applicare in maniera “ruspante” mediante queste operazioni:

• creano sul CAD sia il disegno della mappa che il disegno del rilievo, entrambi con i propri punti di inquadramento;
• poi sovrappongono un disegno sull’altro facendo in modo che i punti di inquadramento vengano ad avere mediamente gli scarti più piccoli che gli riesce, il tutto operando “a occhio” ovviamente.

Questo procedimento è completamente fallace!!!

Vi spiego il perché mediante l’animazione che segue commentata dalle immagini statiche riportate più sotto. È l’esempio di una riconfinazione nella quale sono utilizzati 7 punti di inquadramento.

La prima immagine statica qui sotto riproduce la situazione di partenza: a destra sono mostrati i punti di inquadramento nel sistema di riferimento del rilievo (con le foto dei fabbricati e manufatti sui quali sono stati rilevati), mentre a sinistra è riprodotta la mappa con i corrispondenti punti nel sistema di riferimento cartografico:

Il tecnico fai-da-te opera una prima sovrapposizione con la quale si accorge che i punti di inquadramento 1, 4, 5, 7 danno un’ottima coincidenza (scarto basso):

Nel contempo si accorge che però i punti di inquadramento 2, 3, 6, danno per contro scarti alti:

Quindi prova una seconda soluzione con la quale trova che a dare uno scarto molto buono sono i punti 2, 3, 5, 6:

Ma con questa soluzione vede che hanno uno scarto eccessivo i punti 1, 4, 7:

Quindi ruota e sposta nuovamente il disegno del rilievo in modo che gli scarti siano mediamente i più bassi su tutti e 7 i punti di inquadramento, e decide che quella è la soluzione da adottare:

Mentre invece …

questa soluzione è del tutto inattendibile perché gli scarti vengono “fissati” dal tecnico stesso anziché essere quelli effettivi.

Provate a porvi queste domande:

• Chi ci dice che la soluzione corretta non fosse invece proprio la prima delle due raffigurate nelle immagini sopra, con punti attendibili 1, 4, 5, 7 e con i punti 2, 3, 6, inattendibili e quindi da scartare dal calcolo?
• Oppure chi ci dice che la soluzione corretta non fosse invece la seconda con punti attendibili 2, 3, 5, 6 e con i punti 1, 4, 7 da scartare?

Risposta: Nessuno!

Mediare soggettivamente gli scarti sui punti è un errore madornale. Solo il calcolo ai minimi quadrati fornisce la soluzione corretta.

Fatta questa doverosa precisazione, possiamo chiudere la partita, nel senso che, calcolata la rototraslazione ai minimi quadrati dopo aver eliminato dal calcolo i punti di inquadramento risultati inattendibili (scarto oltre la tolleranza imposta), abbiamo di fatto portato il rilievo nel sistema di riferimento della mappa, dal quale diventa facile ricavare gli estremi per il tracciamento del confine cercato.

Mi preme infine puntualizzare che questo articolo va considerato soltanto come una prima disamina della rototraslazione ai minimi quadrati. Nella pratica delle riconfinazioni da mappa emergono infatti altri fattori di cui tener conto, come ad esempio i casi in cui il confine è esterno (tutto o in parte) al poligono formato dai punti di inquadramento; oppure il potenziale errore che si può commettere proprio nell’escludere dal calcolo i punti di inquadramento. A quelli di voi che fossero interessati ad avere una trattazione completa e dettagliata della rototraslazione ai minimi quadrati consiglio di leggere i seguenti capitoli dei miei libri:

Tecniche di riconfinazione: 3.1 La rototraslazione mappa-rilievo a pag. 394.

Topografia per Catasto e Riconfinazioni: 5.15.4 Rototraslazione ai minimi quadrati a pag. 894 e La variazione di scala mappa-realtà a pag. 821.

Note:

[1] Qui vanno fatte due precisazioni.
La prima è di carattere giuridico, nel senso che, a norma dell’art. 950 del codice civile (Azione di regolamento di confini), il ricorso alla mappa va adottato solo in mancanza di altri elementi, cioè quando il giudice non raccolto (dalle parti in causa) altri elementi probanti (materializzazioni sul posto, documenti scritti, testimonianze, ecc.) che dimostrino la posizione del confine di fatto.
La seconda è di carattere tecnico e riguarda la mappa da prendere in considerazione. In questo articolo mi riferisco alla mappa d’impianto da utilizzare per i confini che sono nati direttamente quando questa fu creata a seguito del rilievo effettivo del territorio. Per confini nati in epoca successiva, a seguito di atti catastali di aggiornamento (frazionamenti), bisogna invece riferirsi a tali documenti e alle misure analitiche in essi riportate. Questa casistica sarà oggetto di un successivo articolo.
In realtà, la mappa d’impianto ha anche una valenza giuridica data dal fatto che nella fase di rilievo i tecnici catastali, procedevano preliminarmente alla delimitazione e alla terminazione (apposizione di termini lapidei) del confine alla presenza dei rispettivi possessori, ottenendo il benestare degli stessi; ragion per cui la mappa d’impianto contiene intrinsecamente anche la volontà condivisa delle parti che hanno generato il confine stesso. Per maggiori dettagli su questo tema, consiglio di leggere l’articolo Cause di confini, come contrastare un CTU palesemente incompetente.

[2] Come facevano un tempo i tecnici catastali per inserire i frazionamenti sulla mappa di visura: mettevano il lucido del TF sopra la mappa facendolo combaciare con le linee nere già presenti, poi foravano con uno spillo i punti delle nuove linee rosse in modo da ottenere il forellino sulla mappa sottostante e infine univano i forellini con le relativi linee.

[3] Questa ricerca non è sempre facile perché in alcune Regioni le mappe d’impianto risalgono ad un secolo fa (primi decenni del 1900) per cui non è molto frequente trovare nei pressi del confine fabbricati tuttora esistenti e non modificati da quell’epoca. Tuttavia è l’unica possibilità che abbiamo e infatti, quando si ha difficoltà a reperire tali punti, si deve giocoforza allargare il campo di ricerca per procedere successivamente a verifiche aggiuntive.

[4] Qui si aprirebbe tutta la questione dei sistemi di riferimento cartografici (e relativi ellissoidi) adottati dal Catasto Italiano (Cassini-Soldner, Gauss-Boaga, Sanson-Flamsteed) un tema che esula dagli scopi di questo articolo. Agli appassionati che volessero approfondirlo consiglio il corso Geodesia e Cartografia per Geometri presente sul sito www.corsigeometri.it, tenuti dai Prof. Renzo Maseroli e Luciano Surace.

[5] Vedremo in un prossimo articolo come va svolta questa delicata operazione.

[6] Sarebbe interessante anche vedere perché si ragiona sui “quadrati” degli scarti anziché sugli scarti stessi, ma qui si andrebbe sulla matematica pura e probabilmente annoierebbe molti lettori. Chi fosse talmente appassionato da esserne interessato, può trovare la spiegazione sul libro Topografia per Catasto e Riconfinazioni al paragrafo Il principio dei minimi quadrati, varianza e covarianza a pag. 620.