– Gianni Rossi –
Nell’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti ho cercato di illustrare il problema che si genera quando un rilievo GPS è appoggiato a due o più stazioni permanenti delle reti territoriali NRTK. In questo brano cercherò invece di quantificare, mediante l’esempio di un lavoro effettivamente eseguito, l’errore effettivo che si può commettere. L’errore provocato dalle basi multiple è ancora più temibile di quello della base distante visto all’articolo Rilievi GPS, l’errore della base distante, dovuto all’unica base posta ad una distanza che esce dal campo topografico. Infatti, oltre all’errore causato dai due piani topografici sghembi visti all’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti, i tecnici che lasciano le basi nella loro posizione originaria (anziché portarle in locale con le tecniche VRS) in genere commettono comunque anche l’errore della base troppo distante. Si trovano cioè ad elaborare punti agganciati a due (o più) basi tutte ubicate al di fuori del campo topografico rispetto dall’oggetto del rilievo.
L’esempio che vedremo qui riproduce esattamente questa situazione. Il rilievo riprodotto qui sotto è tratto da un unico mega-rilievo a più basi realizzato (mettendo assieme più rilievi) dal tecnico che lo ha prodotto allo scopo di ottenere una propria “cartografia” del territorio di sua competenza per trarne i già citati vantaggi di interscambio delle rilevazioni da un lavoro all’altro.
Da questo mega-rilievo ho isolato le due basi permanenti, 1000 e 2000, distanti rispettivamente 30 e 32 km da tre punti agganciati alle stesse, P1, P2, P3. Inoltre, per poter calcolare gli errori, ho suddiviso le due basi in altrettanti rilievi separati in modo da poter poi sovrapporli mediante rototraslazione ai minimi quadrati. In realtà, come si può notare, i punti P1, P2 e P3 rilevati dalle due basi, 1000 e 2000, sono gli stessi. A riprova dell’unicità dei punti, in figura sono mostrati sia i delta dei punti, sia le coordinate geocentriche delle due basi. La tabella che segue mostra che, sommando alle coordinate geocentriche delle due basi i delta ai punti, si ottengono per questi ultimi esattamente gli stessi valori di coordinate geocentriche. Infatti, come abbiamo visto all’articolo Concetti base sul sistema WGS84 del GPS, nel sistema globale WGS84 le coordinate sono direttamente sommabili.
Tabella 1 – Sommando i delta X-Y-Z dei punti P1, P2 e P3 alle coordinate geocentriche delle due basi 1000 e 2000, si ottengono le stesse identiche coordinate geocentriche dei tre punti, a riprova che sono esattamente gli stessi.
Procediamo quindi con la nostra analisi eseguendo il calcolo dei due rilievi i cui risultati sono riprodotti in queste due tabelle:
Naturalmente, considerata la distanza delle basi, le coordinate Est e Nord sono affette dall’errore di sfericità terrestre, come vedremo a breve. Prima però è interessante vedere l’abnorme differenza sulle quote altimetriche evidenziate qui sopra. Come si può vedere, mentre le due basi sono state considerate entrambe a quota 0.000, i punti agganciati alle stesse presentano una quota altimetrica con una differenza di oltre 400 metri tra una base e l’altra. Da una valutazione sommaria si potrebbe pensare che tale abnorme divario sia anch’esso dovuto all’errore di sfericità terrestre, considerato che sulle quote questo ha un’incidenza enormemente più elevata rispetto a quello planimetrico, come visto nell’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti. Ma non è così, l’errore di sfericità viene corretto dal calcolo applicando proprio la formula della x vista in quell’articolo. La causa degli oltre 400 metri di differenza di quota è quella detta, sempre in quell’articolo, al punto 3 della spiegazione dei piani sghembi, vale a dire che la curvatura variabile dei meridiani (perché siamo su un ellissoide), fa sì che il piano tangente alla base 1000 non passa alla stessa altezza sui punti P1, P2 e P3 di quanto non vi passi il piano tangente su 2000.
Tuttavia, i tecnici che lasciano le basi permanenti distanti non sono in genere sensibili a questo problema perché l’altimetria non è normalmente un requisito richiesto dall’incarico che hanno ricevuto. Torniamo quindi all’errore planimetrico. Utilizzando le formule già viste, la Tabella 2 che segue calcola la distanza sferica a partire da quella piana derivante dalle coordinate euleriane.
Tabella 2 – Differenza tra distanza sferica e distanza piana per i punti considerati. Legenda:
Est/Nord eul. = coordinate topografiche piane derivanti dalla trasformazione Euleriana.
D = distanza sul piano
ω = angolo al centro (rad.)
d = distanza sferica
D -d = differenza tra le due distanze
Come avevamo già visto nella tabella di questo calcolo nell’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti, la differenza tra le due distanze non è trascurabile: circa 25 cm per la base 1000 e di 31 cm per la base 2000. Con la distanza così corretta dall’errore di sfericità, correggiamo ora anche le coordinate dei punti. Lo facciamo nella Tabella 3 che segue applicando a tale distanza l’azimut da ciascuna base ai rispettivi punti:
Tabella 3 – Le coordinate piane corrette dall’errore di sfericità terrestre.
Quest’ultimo è stato calcolato sulle coordinate euleriane, e questo non sarebbe perfettamente corretto perché dovrebbe invece essere calcolato sulla sfera. Tuttavia, l’enorme distanza delle due basi (oltre 30 km) rispetto alla differenza di posizione, sul piano e sulla sfera, dei punti (20-30 cm) non introduce errori nel calcolo dell’angolo. La Tabella 4 qui sotto evidenzia le differenze tra le coordinate euleriane e quelle che risultano dalla correzione dell’errore di sfericità:
Tabella 4 – La differenza tra le coordinate piane derivanti dalla trasformazione Euleriana e quelle corrette dall’errore di sfericità terrestre.
Con le coordinate dei punti così corrette per ciascuna base, vediamo ora l’errore planimetrico che si scarica sui punti stessi per effetto della doppia base. Per farlo applichiamo la rototraslazione ai minimi quadrati di Geocat. Dalla schermata principale del programma, senza aver aperto nessun rilievo, clicchiamo sull’icona Rototraslazione della barra degli strumenti (la seconda da sinistra). Ci viene chiesto di dare un nome al file della rototraslazione che andremo a calcolare, nel nostro esempio inseriamo DOPPIA_BASE.DB. Si apre così la tabella della rototraslazione qui riprodotta:
Come possiamo notare dai titoli delle colonne, questa tabella è pensata per rototraslare i rilievi sulla mappa. Le prime due colonne sono infatti E ril. e N ril., mentre più a destra si trovano le colonne E mappa e N mappa. Ma queste diciture hanno soltanto un significato formale, dovuto al fatto che l’esigenza usuale del tecnico è appunto la rototraslazione mappa-rilievo. Nel nostro caso procediamo ad inserire nelle colonne E ril. e N ril. le coordinate reali della base 1000, e nelle colonne E mappa e N mappa le coordinate, sempre reali, della base 2000. Fatto ciò, sempre dalla tabella della rototraslazione, clicchiamo l’icona Calcola in alto, aprendo la finestra del calcolo:
Questa ci chiede se applicare o meno la variazione di scala. Per la spiegazione sulla rototraslazione ai minimi quadrati e la variazione di scala si consultino gli articoli dedicati a questo tema. In questo esempio mi limito a dire che, in generale, la variazione di scala si applica soltanto quando i due sistemi di riferimento hanno un grado di precisione diversa (come nella sovrapposizione mappa-rilievo) applicandola al sistema meno preciso (la mappa) per adattarlo a quello più preciso (il rilievo). Pertanto, in termini generali, non va mai applicata quando si sovrappongono due rilievi (che hanno lo stesso grado di precisione). In questo caso, quindi, non applichiamo la variazione di scala e deselezioniamo l’opzione Applica il modulo di deformazione (variazione conforme di scala). Poi clicchiamo il bottone Calcola pervenendo ai risultati evidenziati nella tabella della roototraslazione riportata sopra. Prima ancora di valutare gli scarti sui punti, è interessante notare il valore dell’angolo di rotazione calcolato dalla rototraslazione ai minimi quadrati e riportato nella mascherina di calcolo:
0.5416 g
Cos’è questo angolo?
È l’angolo che intercorre tra l’asse delle ordinate (nel nostro caso il Nord) dei due sistemi di riferimento sottoposti al calcolo della rototraslazione. A questo punto potrebbe essere lecito domandarsi:
Ma se sono due rilievi GPS, non dovrebbero essere entrambi orientati sul Nord WGS84? Come mai emerge questa divaricazione?
Beh, credo che quelli di voi che hanno letto con attenzione la spiegazione dei piani sghembi nell’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti, siano in grado di rispondersi da soli. Se così non fosse, il motivo è che i due rilievi GPS sono stati trasformati nei due sistemi topografici (euleriani), ciascuno con l’asse Nord orientato sul meridiano della propria base distintamente, e i meridiani convergono ai poli terrestri. Quell’angolo è quindi la convergenza dei due meridiani delle basi 1000 e 2000 (distanti tra loro circa 60 km) ed è, come detto, una delle ragioni per le quali due basi GPS distanti danno luogo ad altrettanti piani topografici non relazionabili tra loro. Mi auguro quindi che questa risultanza possa aver contribuito a chiarire il concetto.
Passiamo ora ad analizzare gli scarti sui tre punti P1, P2, P3 comuni ai due rilievi, vale a dire la differenza di posizione dei punti stessi tra un rilievo e l’altro. Come possiamo notare sopra nella tabella della rototraslazione, per il punto P3 emerge un vettore di scarto[1] (colonna Vett.) di 23 cm, il che significa che quel punto, che in realtà è lo stesso, risulta invece a 23 cm di distanza se agganciato alle due basi. Il tutto considerando che nella rototraslazione abbiamo utilizzato le coordinate corrette dall’errore di sfericità; altrimenti, usando quelle piane, sarebbe stato ancora maggiore.
[1] Il vettore di scarto è l’ipotenusa del triangolo rettangolo formato dagli scarti Est e Nord, in pratica è la distanza effettiva tra la duplice posizione del punto nei due sistemi di riferimento considerati.