Pregeo, spostamento dell’origine del rilievo

– Gianni Rossi

N.B.: articolo di una serie, leggi la nota finale.
Ad un lettore attento che abbia letto l’articolo Pregeo, il potenziale pericolo nel fissare la VRS non sarà sfuggito il seguente particolare: nel secondo calcolo del libretto Pregeo presentato, quello in cui è stata mantenuta la base permanente della rete NRTK, le coordinate della base stessa non sono risultate pari a zero ma pari ai seguenti valori:

\[Est=0.238\hspace{2cm}Nord=-0.211 \]

Con questi dati, la domanda da porsi è:

Come può la base GPS, cioè il punto di emanazione del rilievo, non avere coordinate pari a zero ma differire di oltre 20 cm?

Se ci pensate, è veramente difficile trovare una spiegazione che possa giustificare questo risultato. La base GPS è, come detto, il punto di emanazione del rilievo e come tale viene assunta per definizione quale origine del sistema di riferimento. Le sue coordinate non possono che essere pari a zero, altrimenti sarebbe come se in una cartografia l’origine del sistema di riferimento anziché riportare coordinate pari a zero, mostrasse coordinate pari a 23 cm Est e 21 cm Nord. L’origine del sistema è l’unico punto che non può essere oggetto di alcuna compensazione, non va considerato come un punto rilevato. Pregeo invece ci propone questa sua interpretazione dell’origine che può essere spostata di decine di cm. È chiaro che solo gli autori di Pregeo potrebbero fornire la spiegazione esatta di questa loro variante. Tuttavia io ho cercato di interpretarla mediante lo studio che segue. Consideriamo l’esempio semplificato della figura che segue: supponiamo di aver fatto stazione con la TS su 100 ed aver osservato il punto 101 leggendo i dati riportati qui sotto (il numero di decimali è volutamente aumentato per ottenere dal calcolo il miglior arrotondamento della distanza orizzontale a 3000 metri esatti e del dislivello a 1000 metri esatti):

Ang.orizz. = 0.0000 Ang.vert. = 79.51672353 Dist.incl. = 3162.2776

Con queste letture il punto 101 si trova ad una distanza piana di 3000 m e ad un dislivello di 1000 m. Naturalmente si tratta di una simulazione non realistica che serve soltanto ai fini della dimostrazione che segue. Si potrebbe obiettare che non si verifica mai un rilievo TS in cui si copre un dislivello di 1000 m, e sarebbe un’obiezione sensata. Ma la stessa condizione può verificarsi nei rilievi GPS agganciati alla rete di basi permanenti NRTK che possono trovarsi a diversi km dall’oggetto del rilievo e ad un dislivello di questa entità. Tant’è che ciò si verifica sia nell’esempio GPS trattato all’articolo Pregeo, il potenziale pericolo nel fissare la VRS, sia in quelli che vedremo più avanti.

Con le letture indicate, la distanza orizzontale e il dislivello si calcolano facendo:

\[Dist\_or=3162.2776 · sin⁡(79.51672353)= 3000.000 \]
\[Disl=3162.2776 · cos⁡(79.51672353)=1000.000 \]

Calcoliamo ora manualmente le coordinate planimetriche di questo semplicissimo schema senza applicare la riduzione al livello del mare. Non ci sono iperdeterminazioni, per cui non c’è alcuna compensazione da fare. La stazione 100 è il punto di emanazione del rilievo, al quale assegniamo pertanto coordinate pari a zero:

\[E_{100}=0.000\hspace{2cm}N_{100}=0.000 \]

Mentre per il punto 101 basta applicare le note e semplici formule trigonometriche:

\[E_{101}=E_{100}+Dist\_or · sin⁡(Ang\_or)=0.000+3000 · sin⁡(0)=0.000 \]
\[N_{101} = N_{100}+Dist\_or · cos⁡(Ang\_or)=0.000+3000 · cos⁡(0)=3000.000 \]

Non si pensi che, considerata la distanza notevole di 3000 m, la Nord debba essere corretta dell’errore di sfericità terrestre, perché questo errore è praticamente irrilevante al di sotto dei 10000 m, come abbiamo visto all’articolo I rischi nell’utilizzo di basi GPS permanenti. Non è invece per niente irrilevante, tutt’altro, per la quota dove incide di:

\[Errore\hspace{2mm}sfericità\hspace{2mm}quota=\frac{D^2}{2R}=\frac{3000^2}{2 · 6377000}=0.700 m \]

Vediamo invece cosa fa Pregeo. Inseriamo questo semplice rilievo mediante il libretto riportato qui sotto assegnando zero in riga 9 sia alla quota che alla Est media (indicate in rosso). Per la quota significa che Pregeo attribuirà il valore zero alla quota del punto di emanazione del rilievo, cioè alla stazione 100. Per la Est media significa che Pregeo non applicherà nessuna compensazione cartografica. Nel libretto trascuriamo inoltre di inserire sia l’altezza strumentale che quella del prisma per semplificare il calcolo.

Elaboriamo questo libretto e otteniamo i seguenti risultati:

Anziché avere una Nord pari a 0.000, la stazione 100 è stata spostata di 23.5 cm, così come il punto 101, anziché avere una Nord di 3000.000, è anch’esso spostato di 23.5 cm. Come mai?

Andiamo per gradi. Innanzi tutto, come avevamo spiegato all’articolo Pregeo, l’orientamento angolare nei rilievi GPS, Pregeo ha considerato questo rilievo come una rete composta dalla stazione e dal primo punto inserito nel libretto dopo di essa. In questo caso tale punto è anche l’unico rilevato ma Pregeo considera la stessa rete anche se ce ne fossero molti altri. Ora, come dicevo in quell’articolo, a me risulta del tutto incomprensibile come si possa considerare una “rete” un’unica stazione che osserva un unico punto senza alcuna iperdeterminazione. Ma tant’è.

Detto questo, cominciamo con il chiederci:

Quale distanza orizzontale ha calcolato Pregeo tra la stazione 100 e il punto 101?

Questa:

\[Dist\_or=2999.530 \]

Da cosa deriva? Da due passaggi:

  1. Il primo è quello visto sopra, cioè il calcolo della distanza orizzontale a partire da quella inclinata e angolo verticale letti, con il risultato già trovato di 3000 m esatti;
  2. Il secondo è la riduzione a livello del mare di questa distanza, un’operazione che Pregeo compie sempre. Ricordando dalla topografia studiata a scuola di geometra, tale distanza ridotta si calcola con questa formula:
\[d_0=d\hspace{1mm}\bigg(1-\frac{Q}{R}\bigg)\]

Dove:

\[d= distanza\hspace{2mm}reale\]
\[d_0= distanza\hspace{2mm}ridotta\]
\[Q= quota\hspace{2mm}altimetrica\]
\[R= raggio\hspace{2mm}medio\hspace{2mm}terrestre\hspace{2mm}pari\hspace{2mm}a\hspace{2mm}6377\hspace{2mm}km\]

Per cui nel nostro esempio risulta:

\[d_0=3000\hspace{1mm}\bigg(1-\frac{1000}{6377000}\bigg)=2999.530 \]

Bene, fin qui ci siamo arrivati, ora è da capire perché questa distanza ridotta al livello del mare non sposti solo il punto 101 lasciando ferma l’origine, ma sposti anche quest’ultima. Non è difficile: Pregeo determina la Nord dei punti 100 e 101 semplicemente spartendo a metà tra i due la differenza tra questa e la distanza data dal calcolo effettivo, cioè :

\[Diff=3000.000-2999.530=0.470 \]
\[\frac{0.470}{2}=0.235 \]
\[N_{100}=0.000+0.235=0.235 \]
\[N_{101}=3000.000-0.235=2999.765 \]

Nota: questo articolo fa parte di una serie dedicata all’analisi topografica dei risultati di Pregeo, analisi le cui motivazioni sono riportate nell’articolo I rischi nel valutare i risultati del calcolo di Pregeo che vi invito pertanto a leggere per primo.

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